МСП-модель бизнес цикла, описанная в статье "Модель бизнес цикла на основе Метода Системного Потенциала"
http://www.socintegrum.ru/Publ.html
качественно эквивалентна хорошо известной модели Калдора (1940):
Описание
модели Калдара содержится на сайте:
http://cepa.newschool.edu/het/essays/mu ... aldcyc.htm
Figure 5 этого сайта показывает динамику Y(K), которая качественно эквивалентна динамике в
МСП-модели бизнес цикла для переменных R=Y/Ymax и z=K/Ymax:
http://images.izvestia.ru/inauka/24939.jpg
Однако, есть и отличия. В модели Калдора величина выпуска в фазе
процветания уменьшается. В МСП-модели - растет. Кроме того в модели Калдора динамика описывается лишь на качественном уровне, поскольку она определяется неизвестными функциями инвестиций I(Y;K) и сбережений S(Y;K). В МСП-модели динамика описывается точными математическими формулами. В принципе на
основе сравнения модели Калдора и МСП-модели можно получить определенные количественные результаты для функций инвестиций и сбережений.
В модели Калдара в коротком периоде:
DY/Dt = alfa * [I(Y;K) - S(Y;K)] (*)
В МСП-модели динамика в коротком периоде - это процесс стабилизации стационарного состояния системы:
DR/Dt = - Const * DW[R;z]/DR; (**)
(справа - частная производная)
W[R;z] - вспомогательная функция, обеспечивающая устойчивость стационарных состояний системы. В простейшем случае W[R;z] - полином четвертой степени. Стационарным состояниям DW[R;z]/DR = 0 соответствуют точки, лежащие на эволюционных ветвях, а уравнение (**) описывает процесс возвращения системы в стационарное состояние. О соотношении динамики системы в коротком и длинном периодах и вспомогательной стабилизирующей функции W[R;z] - смотри статью
"Динамика экономической системы в коротком и длинном периоде согласно Методу Системного Потенциала":
http://www.ephes.ru/articl/content/arti ... ushnoi.htm
Поскольку R = Y/Ym и в коротком периоде Ym - постоянное, то уравнения (*) и (**) будут совпадать, если положить:
alfa * [I(Y;K) - S(Y;K)] = [- Const * DW[R;z]/DR] * Ym
Поскольку W[R;z] - полином четвертой степени, окончательно получаем:
S(Y;K) - I(Y;K) = Const1 * [R - R1(z)] * [R - R2(z)] * [R - R3(z)]
(1)
Здесь R1(z); R2(z) и R3(z) - три значения R(z), два - на "нижней" эволюционной ветви и одно - на "верхней" ветви.
Const1 = (Const * Ym)/alfa
В МСП-модели функция инвестиций имеет вид:
I(Y;K) = DK/Dt = nu * Y - l * K
(2)
Но функцию инвестиций именно такого вида предложил Gardiner Ackley в книге "Macroeconomic Theory" (1961). Позднее во втором, дополненном издании "Macroeconomics: Theory and Policy" (1978) он указал, что
это наиболее простое выражение, которое согласуется с эмпирическими данными и моделью J.S. Duesenberry; "Business Cycles and Economic Growth" (1958).
Согласно (2) норма валовых инвестиций зависит от производительности капитала по простому закону:
Rate of Gross Unvestment, RGI = nu - l/(Y/K);
(3)
Если взять данные для 1933 - 1948, то можно убедиться, что (3) действительно выполняется с приемлимой точностью, но при этом, конечно, параметр l будет больше нормы аммортизации, поскольку чистые инвестиции (Net Investment; NI) зависят от Y и K аналогичным образом:
NI = c1 * Y - c2 * K
(4)
(то есть норма чистых инвестиций не является константой!)
Поэтому, I(Y;K) = Net Investment - Depreciation = NI - l * K = c1 * Y - (l + c2) * K;
(5)
Если зависимость I(Y) имеет S-образную форму, то функция S(Y), определяетмая (1), будет иметь такой же вид как в модели Калдора.
S-образная форма функции инвестиций I(Y;K) является следствием закона меняющихся пропорций (
"the law of variable proportions"):
http://cepa.newschool.edu/het/essays/pr ... odfunc.htm
Именно, DI/DY = nu - l/(DY/DK);
(6)
(здесь везде - частные производные) и поскольку DY/DK (MPC; marginal product of capital) имеет вид функции с единственным максимумом типа кривой MPL, изображенной на Figure 2.3., то функция I(Y) будет иметь S-образную форму типа той, что используется в модели Калдора.
Обозначив через P = Y/K - производительность капитала, из (5) получаем:
RGI = c1 - (l + c2)/P; (7)
То есть на "нижней" эволюционной ветви (фаза депрессии), где производительность капитала растет, растет и норма валовых инвестиций. Во время скачка "revival" происходит скачок нормы валовых инвестиций, после чего, в фазе "prosperity", производительность P медленно понижается, соответственно понижается и норма инвестиций. Все эти закономерности хорошо видны на данных 1933-1948 годы.
В модели Калдора
динамика в длинном периоде описывается как сдвиг функции инвестиций. В МСП-модели движение системы по нижней ветви (депрессия) сопровождается ростом P, то есть функция инвестиций I = RGI(P) * Y действительно сдвигается вверх. На верхней ветви RGI(P) понижается, что и означает сдвиг вниз функции инвестиций - опять в точном соответствии с моделью Калдора.
Однако, есть
два принципиальных отличия:
1)
Рост выпуска Y в МСП-модели в фазе процветания и падение Y в этой фазе для модели Калдора. Статистические данные указывают, что выпуск в фазе процветания именно растет.
2) S-образная форма для кривой инвестиций получается, если потребовать зависимости функции инвестиций от еще одного параметра, например, L (труд), котрый играет роль управляющего параметра функции I(Y;K;L). Только в этом случае из определения функции инвестиций (5) и закона "меняющихся пропорций" следует S-образная форма для функции инвестиций. Мы ищем частную производную DI/DY при условии L=Constant. Если же считать, как это предполагал Калдор, что функция I(Y;K) имеет S-образный вид при K=Constant, то это дает для частной производной DI/DY постоянную величину.
То есть
условие S-образности I(Y) несовместимо с функциональной формой I(Y;K) = c1 * Y - (c2 + l) * K, если считать K=Constant. Поэтому МСП-условие для "короткого периода" - это не K=Constant (как у Калдора), а L=Constant.
Григорий.