Некоторые рассуждения о том, как соотносятся между собой теория предельной полезности и классический подход.(Просьба - ссылаться при использовании данного материала).
Сообщение разбито на две части.
В первой части я рассматриваю пример, который иллюстрирует неполноту "субъективной" трактовки теории предельной полезности (ТПП). Я доказываю, что удовлетворить требованиям ТПП в случае, когда в обмене участвуют более двух лиц, не всегда возможно.
Во второй части рассматривается вопрос - как можно объединить ТПП с классическим подходом в рамках единой концепции.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.Рассмотрим простейшую задачу двух потребителей, которые планируют обменяться продуктами так, чтобы максимизировать свои функции полезности. Сама постановка такой задачи в математической форме восходит к Вальрасу и Лаунгардту. Владимир Карпович Дмитриев в своих "Экономических очерках" рассматривает эту задачу в своем последнем очерке III в главе 2, стр. 271.
Решение задачи о нахождении цен, удовлетворяющих требованиям ТПП, предполагает выполнение трех требований.
Первое требование. Сколько одна сторона отдает товара 1 в обмен на определенное количество товара 2, столько другая сторона получает товара 1, отдавая определенное количество товара 2. То есть общее количество товаров, переходящих из рук в руки сохраняется. Товары просто меняют своего хозяина. Скажем, если лицо А отдало 6 единиц товара 1 и приобрело взамен 3 единицы товара 2, то лицо В отдало 3 единицы товара 2 и приобрело 6 единиц товара 1.
Из этого очевидного факта вытекает: сколько одно лицо теряет определенного товара, столько другое лицо этого товара приобретает. Изобразим это графически. В качестве осей выберем количества товаров 1 и 2. Тогда каждое лицо до и после обмена изобразится точкой, координаты которой дают принадлежащие этому лицу количества товаров 1 и 2.
Пусть лицо А имеет сначала 1 единицу продукта 1 и 6 единиц продукта 2. Лицо В пусть до обмена имеет 3 единицы продукта 1 и 2 единицы продукта 2. Соединим точки А и В, соответствующие имуществу наших лиц ДО обмена. Середину отрезка АВ обозначим О. Нетрудно понять, исходя из геометрических соображений, что возможные положения лиц ПОСЛЕ обмена: А'; A'';... B';B'';... могут быть только такими, как показано на Рисунке 1.
Рисунок 1.![Изображение](http://www.socintegrum.ru/pictures/images/tn_tpp3.jpg)
Сдвиги точек A'; A''... относительно А по горизонтали (вертикали) равны по модулю аналогичным сдвигам точек B';B'';... относительно B.
Отсюда следует, что для любых возможных точек, отражающих имущество лиц ПОСЛЕ обмена, должно выполняться:
A'O = B'O; A"O = B"O........ (1)
Второе требование. Раз обмен состоялся, то стоимость (ценность) обмениваемых количеств - одна и та же. Поэтому, обозначив P1 и P2 - цены товаров, а Y1 и Y2 - обмениваемые их количества, получим:
P1 * Y1 = P2 * Y2. (2)
Третье требование. Воспользуемся теорией предельной полезности. Согласно этой теории, обмен происходит при такой пропорции, что каждое лицо максимизирует свою функцию полезности. Ограничимся простейшим случаем (в более сложных – рассуждения аналогичные).
Пусть оба лица характеризуются одинаковой функцией полезности, то есть оба считают равно-полезными одинаковые наборы благ. Обозначим эту функцию U(Q1;Q2). Эта функция должна удовлетворять обычным требованиям: (1) первые частные производные положительны, (2) вторые частные производные - отрицательны.
Пусть, например, U(Q1;Q2) = SQRT[Q1 * Q2] - квадратный корень из произведения.
Обозначим A1 и A2 (В1 и В2) - количества товаров 1 и 2 у лиц А (В) - ДО обмена.
Мы также обозначили Y1 и Y2 - количества отдаваемого и полученного товара. Будем считать, что лицо А отдает товар 2 и получает товар 1.
Тогда после обмена его функция полезности имеет вид: U(A1+Y1;A2-Y2).
Согласно (2), приращения Y1 и Y2 связаны соотношением:
Y2 = Y1 * (P1/P2). (3)
С учетом этой подстановки, имеем задачу на максимум для функции:
U(A1+Y1;A2-Y1*(P1/P2)). Дифференцируя по Y1, получаем:
dU/dQ1 = (P1/P2) * dU/dQ2
Откуда следует знаменитое правило пропорциональности предельных полезностей ценам:
[dU/dQ1]:[dU/dQ2] = (P1/P2) (4)
Но из (3) следует, что должно тогда выполняться:
[dU/dQ1]:[dU/dQ2] = (Y2/Y1)
Посмотрим на рисунок 1.
Отношение Y2/Y2 задает тангенс угла наклона прямой, проведенной из точки состояния лица ДО обмена в точку ПОСЛЕ обмена. С другой стороны вектор с компонентами (dU/dQ1;dU/dQ2) - это вектор градиента, который, как известно, направлен перпендикулярно к линии уровня функции U = Const. Но тогда из геометрических соображений следует, что угол между нормалью к уровню и положительным направлением оси Q1 равен углу между отрицательным направлением оси Q2 и прямой AA'. Поэтому прямая AA' является КАСАТЕЛЬНОЙ к линии уровня в точке A'. Это рассуждение справедливо и для точки B'.
Отсюда следует, что требование теории предельной полезности геометрически эквивалентно условию касания прямой, проведенной из точки ДО обмена (А) в точку ПОСЛЕ обмена (A') - условию касания в этой точке УРОВНЯ, проходящего через точку A'.
Поэтому, чтобы найти точку A', в которой максимизируется полезность после обмена, мы построим кривую, состоящую из точек касания прямых, выходящих из точки А и касающихся линий уровня. То же мы сделаем и для точки В. Получим две функции.
Кривая касаний для точки А:
F(A) = Q2 = A2:(2 - (A1/Q1))
Кривая касаний для точки В:
F(B) = Q2 = (B2):[2 - (B1/Q1)]
Эти формулы справедливы для выбранной нами функции U(Q1;Q2) = SQRT[Q1 * Q2].
На Рисунке 2 показаны как уровни функции, так и функции кривых касаний F(A) и F(B).
Рисунок 2.![Изображение](http://www.socintegrum.ru/pictures/images/tpp1.jpg)
Осталось теперь отыскать на кривых F(A) и F(B) такую пару точек A’ и B’, в которой бы выполнялось условие (1), выражающее факт сохранения меняемого набора товаров. В нашем примере этому требованию (1) удовлетворяет точка О = A’ = B’.
Рисунок 3.![Изображение](http://www.socintegrum.ru/pictures/images/tpp01.jpg)
Обмен переводит А(1;6) в положение А’(2;4) и B(3;2) в B’(2;4). То есть:
Y1 = 1; Y2 = 2 и поэтому P2:P1 = Y1:Y2 = 0,5.
Цена относительного обмена между лицами А и В таким образом однозначно определена.
Но что можно сказать, если кроме А и В в обмен вступает третье лицо С, имеющее, например, запас в 3 единицы товара вида 1 и 1 единицу товара вида 2, С(3;1).
Мы можем в точности повторить все предыдущие рассуждения, но теперь применительно к лицам А и С. И снова найти цены, при которых обмен А и С удовлетворяет требованиям ТПП. Но это будет уже другой обмен, по другой цене.
На Рисунке 4 показано где будут находиться новые точки A’ и C’ для обмена между А и С. Относительная цена в этом случае будет другой P2:P1 = 0,571.
Рисунок 4.![Изображение](http://www.socintegrum.ru/pictures/images/tpp02.jpg)
Следовательно,
в общем случае, когда в обмене участвует множество лиц (а это реальная ситуация любого обмена), как правило, нет такой цены, которая обеспечивала бы всем меняющимся сторонам максимизацию их функции полезности. При обмене между А и В такая максимизация происходит при относительной цене P2:P1 = 0,5. При обмене А на С это – другой уровень: P2:P1 = 0,571. При обмене B на С – тоже новый уровень.
Из этого противоречия можно было бы попытаться выйти так. Объединить в одну группу всех лиц, которые уменьшают запасы товара 1 и увеличивают запасы товара 2. В другую группу объединить лиц, уменьшающих свои запасы товара 2 и увеличивающие запасы товара 1. Тогда мы пришли бы к модели, в которой на одной стороне – лица, предлагающие товар 1, на другой стороне лица, предлагающие товар 2. Для этих групп можно повторить все наши рассуждения и определить относительную цену обмена товаров 1 на товары 2. Она определяется однозначно. Но в этом случае - что понимать под функцией полезности таких групп? Ведь группы состоят из многих лиц, каждый из которых занимает определенное положение на плоскости (Q1;Q2). В простейшем приближении следует просуммировать функции полезности всех лиц данной группы и получить новую - более сложную функцию полезности ВСЕЙ группы.
Цена, при которой максимизируется полезность каждого лица за счет обмена его товара на товар группы лиц, предлагающих другой товар, - она будет разной для разных лиц данной группы. То есть для каждого отдельного лица и в этом случае требованию максимизации его функции полезности удовлетворить в общем случае нельзя. Каждое отдельное лицо будет вынуждено обменивать свой товар неоптимальным для него образом – не достигая максимума своей функции полезности. То есть требование "субъективной" версии ТПП (примененной к отдельным лицам) будет нарушаться в подавляющем большинстве актов обмена.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ.Но может быть ТПП следует применять именно к группам и рассматривать две совокупности лиц, выносящих на рынок товары разных видов? Полезность группы можно в первом приближении определить как сумму полезностей всех лиц данной группы. Выполнение требований ТПП для группы будет осуществляться ценой нарушения требований ТПП для отдельных лиц. Если сами группы состоят из подгрупп, то для каждой подгруппы тоже будут нарушаться требования ТПП.
Фактически получается, что
требования ТПП могут быть выполнены лишь для всей совокупности лиц, предлагающих данный товар. В такой постановке мы уже не можем говорить об субъективной или психологической теории «ценности», так как феномен «ценности» в понимании ТПП может проявить себя лишь через обмен больших групп лиц, выносящих свой товар на рынок. В обмене отдельных лиц феномен ТПП-«ценности» не работает, так как в подавляющем большинстве таких случаев относительная цена не удовлетворяет требованию максимизации индивидуальных функций полезности меняющихся сторон.
«Ценность» в ТПП обнаруживает себя лишь через обмен групп лиц, выставляющих свой товар на продажу. Следовательно
ТПП-«ценность» - это не субъективный, не индивидуальный, а объективный критерий обмена. На стороне одной группы – спрос на товар 2 и предложение товара 1. На стороне второй группы – спрос на товар 1 и предложение товара 2.
Обмен происходит по цене, при которой полезность каждой группы максимизируется.Докажем, что обмен между «группами» по принципам ТПП вполне может быть одновременно обменом по равновесным ценам производства. То есть, что эти два подхода (ТТС и ТПП) могут давать один и тот же результат.
Заметим, прежде всего, что функция «полезности» зависит лишь от количеств товаров, а не от их цены. С другой стороны для любого значения относительной цены можно указать такие исходные количества товаров в группах А и В (до обмена), что соответствующий принципам ТПП уровень относительной цены будет равен заданному наперед значению. То есть,
задавая произвольно относительную цену обмена товаров А на товары В, мы всегда можем выбрать такие ОБЪЕМЫ предложения (объемы производства) товаров А и В, при которых определяемый ТПП уровень относительной цены в точности будет равен наперед заданному ее значению. Цена в ТПП определяется исходными объемами производства, поэтому всегда можно за счет изменения объемов производства получить заданный уровень цены. Поэтому, взяв в качестве такого уровня цены производства, и рассчитав необходимые для такой цены, в соответствии с требованиями ТПП, объемы производства, получим полное совмещение классического обмена по ценам производства с тем, который должен иметь место, согласно ТПП.
Никакого противоречия между определением равновесных цен классической теорией и теорией предельной полезности поэтому нет. Например, цены производства определяются левым собственным вектором Фробениуса матрицы прямых материальных затрат. Этим ценам отвечают определенные объемы производства товаров – такие, что для них положение максимальной полезности после обмена соответствует обмену по ценам производства.
Проиллюстрируем этот общий вывод на простом примере. Опять рассмотрим функцию полезности в виде U(Q1;Q2) = SQRT(Q1*Q2).
Пусть 1 единица товара 1 обменивается на P единиц товара 2. Измерителем цен выберем товар 2. Тогда цена первого товара равна Р, цена второго товара равна 1.
Ищем такое количество Z товара 1, которое надо обменять на товар 2, чтобы максимизировать полезность обоих групп.
Пусть группа А предлагает товар 1, а группа В – товар 2. Продукт группы А – это товар 1, который она выменивает на товар 2 группы В.
Полезность первой группы до обмена U(A1;0). Полезность группы В до обмена U(0;B2). После обмена полезность первой группы: U(A1-Z; Р*Z)=SQRT((A1-Z)*Р*Z)
После обмена полезность второй группы: U(Z;B2-P*Z)=SQRT(Z*(B2-P*Z))
Находим точку максимума обоих функций. Получаем: Z = A1:2; P = B2:A1.
То есть половина выпуска группы А обменивается на половину выпуска группы В.
Задавая совершенно произвольно значения P и А1, получаем, что при В2 = Р*А1 всегда выполнены требования ТПП. При этом
само значение цены P может описывать обмен по ценам производства, или обмен по ценам Сраффы, или обмен по классическим трудовым стоимостям, или какой-либо иной вариант обмена. За счет расширения или сокращения объемов выпуска обмен по любым ценам может быть органично совмещен с обменом по принципам ТПП. Противоречия нет.Единственное затруднение, которое тут возникает, – это что экономика, объемы которой регулируются в соответствии с ТПП, не обязательно будет продуктивной, если никак не ограничивать выбор функции полезности. Эту функцию можно выбрать и так, что после обмена производство в прежнем масштабе уже будет невозможно.
В нашем примере половина продукта 1 должна обмениваться на половину продукта 2, чтобы обеспечить требования ТПП. Но если в матрице затрат на производство единицы продукта 1 идет больше половины продукта 1, то производство А не сможет продолжаться в прежнем масштабе. Это указывает, что между условиями продуктивности экономики и функциями полезности производителей каждой группы товаров есть определенная связь.
ВЫВОД.Таким образом, теория предельной полезности может быть органично совмещена с существующими классическими подходами (теорией цен производства, трудовой теорией стоимости….). При кажущемся на первый взгляд глубоком различии принципов ТПП и классических принципов, оба эти подхода не противоречат друг другу. Классические принципы позволяют определять уровень равновесных цен (тем или иным способом), а теория предельной полезности задает объемы предложения, при которых эти цены дают максимизацию полезности каждой группы производителей.
Григорий.