Объяснение некоторых эмпирических закономерностей динамики сложных систем на основе Метода Системного Потенциала.
(Самоорганизованная критичность, степенные законы распределения событий,, явление "punctuated equilibrium", фрактальные свойства динамики).
В 1987 году в статье [1] Per Bak, Chao Tang и Kurt Weisenfeld предложили простое объяснение явления Фликер-шума - шума, спектральная плотность которого удовлетворяет простому степенному закону типа f^(-a) где а>0. Такой шум возникает во многих очень разных по своей природе системах (физических, химических, биологических...).
http://lgek.narod.ru/kritichnost.htm
Они предположили, что этот шум возникает как результат явления так называемой "самоорганизованной критичности" (self-organized criticality). Это состояние высокой чувствительности по отношению к малым внешним возмущениям, в котором итогом малого воздействия может стать кардинальное качественное обновление системы. В системах, состоящих из множества взаимодействующих частей, такие процессы кардинального качественного обновления имеют форму лавин реконфигурации - лавины качественной перестройки (возникновение новых констелляций взаимоупорядочения частей). В своей статье 1993 года [4] авторы Per Bak and Kim Sneppen дают следующее определение состояния "самоорганизованной критичности":
"Self-organized criticality" refers to the tendency of large dynamical systems to organize themselves into a "poised" state far out of equilibrium with propogating avalanches of activity at all sizes" (p.4083).
Примером является модель песчаной кучи, которая по мере добавления отдельных песчинок достигает состояния, в котором падение песчинки может вызвать лавинное осыпание - то есть вся структура песчаной кучи качественно изменится. Это состояние часто сравнивают с состоянием "edge of chaos" (хотя сами авторы теории "самоорганизованной критичности" были против такого отождествления - см. в той же статье [4]), в котором сложные адаптивные системы наилучшим образом приспосабливаются к меняющемуся окружению (сохранение контроля при максимальной гибкости).
В "критическом" состоянии имеют место степенные законы распределения величин, регистрируемых на макроскопическом уровне. Такими величинами являются, например,величина осыпаний (в модели песчаной кучи) и время жизни минимально стабильных кластеров (время протекания лавин).
Об самоорганизованной критичности и степенных законах распределения, например, здесь:
http://katastrofa.h12.ru/krit.htm
http://www.cplire.ru/rus/InformChaosLab ... tskii.html
Общая закономерность такая - чем больше катастрофа (лавина), тем реже она случается, а вероятность катастрофы зависит по степенному закону (с отрицательной степенью) от величины катастрофы. Авторы (Per Bak и его коллеги) указали, что такая закономерность приводит к возникновению фликкер-шума. Они указали также на то, что наличие степенного закона распределения свидетельствует о фрактальных свойствах динамики системы.
Суммируем.
В критическом состоянии система показывает следующие свойства:
1) Степенной закон распределения для макровеличин типа - величина осыпаний, время протекания лавины...
2) Свойство периодического качественного обновления -
явление "punctuated equilibrium",
3) Фрактальные свойства динамики.
Все эти три основных свойства "критического" состояния присущи динамике МСП-систем при положительных kappa и при условии, что средняя величина возмущений Системы выше некоторого "порогового" значения.
Ниже приведены некоторые результаты моделирования динамики МСП-системы с kappa=1.
1) При моделировании не рассматривались процессы возвращения Системы в текущее временно-равновесное состояние (на верхней или нижней ветви эволюционного цикла). Вероятности "скачков" с одной ветви на другую могут быть вычислены теоретически и полученные выражения были заложены в алгоритм формирования случайных "скачков". В этом приближении
динамика МСП-Системы состоит из последовательности "разрывных" ("релаксационных") циклов разной длительности. Типичные "картинки" приведены ниже:
Динамика МСП-систем крупном масштабе:
http://i21.photobucket.com/albums/b263/ ... chDyn2.jpg
Динамика МСП-систем в мелком масштабе:
http://i21.photobucket.com/albums/b263/ ... hDyn3N.jpg
Хорошо видна следующая закономерность: чем выше "пики" (величины "скачков"), тем реже они встречаются. То есть между высотой "пиков" и их частотой имеется обратная зависимость. Высота "пика" (под "пиком" имеются в виду величины "скачков": вверх - с нижней эволюционной ветви на верхнюю; или вниз - с верхней эволюционной ветви на нижнюю) характеризует "глубину" фазы "кризиса", ("скачок" вниз) или "силу" восстановления после фазы "депрессии" ("скачок" вверх). Непосредственной причиной "скачков" являются внешние возмущения МСП-системы. По мере того, как Система поднимается по верхней эволюционной ветви неустойчивость состояния растет и следствием малых случайных возмущений становятся "скачки" - падения Системы с верхней эволюционной ветви на нижнюю.
2) Чтобы установить более точно характер зависимости: "глубина кризиса" - "частота встречаемости" (вероятность "кризиса" за единицу времени) были выполнены вычисления при разной величине "случайных возмущений" Системы. При малых "возмущениях" эта зависимость подобна той, что описана в работе [2] - имеем ассимметричное не-Гауссово распределение (гладкий скошенный пик).
Авторы [2] отмечают широкую распространенность такого вида распределений именно в системах высоко коррелированных, в которых отдельные части нельзя рассматривать как статистически независимые составляющие и к которым поэтому неприменима центральная предельная теорема. Авторы указывают что в состоянии самоорганизованной критичности Системы будут как раз такими сильно-коррелированными Системами.
Однако по мере увеличения средней величины "возмущений" МСП-Системы распределение "глубина кризиса"-"частота встречаемости" меняется. Форма распределения деформируется и при "возмущениях" выше некоторого "порогового" значения распределение становится близким к степенному закону. Ниже показано, как происходит -
деформирование функции распределения:
http://i21.photobucket.com/albums/b263/ ... 3Curv1.jpg
Дальнейший рост средней величины "возмущений" практически не влияет на вид распределения. Оно лишь все более точно соответствует степенному закону. Чтобы увидеть это, можно построить зависимость "логарфм частоты (вероятности в единицу времени)" - "логарифм глубины кризиса". Зависимость будет почти линейной:
Степенной закон для "длительностей" циклов:
http://i21.photobucket.com/albums/b263/ ... /PDF2N.jpg
Степенной закон для "глубины кризисной фазы" циклов:
http://i21.photobucket.com/albums/b263/ ... /PDF1N.jpg
Отклонения от линейности именно такие, которые обнаружил Per Bak в [1] - прямая слегка загибается вниз. (Правда Per Bak полагал, что эти отклонения от линейности есть результат недостатков модели.)
Увеличение средней величины "возмущений" не приводит к устранению этого слабого "изгиба" (отклонения от степенного закона). Это значит, что в МСП-Системах распределение при выше-порговых возмущениях хотя и близко к степенному закону (практически совпадает в большой области изменений "глубин кризиса"), но все-таки это не степенное распределение в строгом математическом смысле этого слова.
3) Наличие почти степенного закона распределения для макроскопических событий разной величины (таких как "глубина кризиса" и "длительность цикла") означает, что динамика МСП-Системы показывает свойства фрактала (это хорошо видно на вышеприведенных графиках динамики МСП-систем). Чем короче "цикл" или чем меньше "глубина кризиса", тем чаще они встречается, причем в силу квази-степенного закона распределений этих величин, Log-Log зависимость будет почти линейной, что позволяет говорить о присутствии свойств фрактала во временном ряде, описывающем динамику МСП-Системы.
4) Все эти свойства динамики МСП-Системы позволяют заключить, что
при возмущениях выше порогового значения МСП-Система показывает все основные свойства самоорганизованной критичности, то есть работает в режиме наиболее гибкой адаптации к меняющемуся окружению.
Важно отметить, что состояние критичности в МСП-системах действительно САМОорганизуется. Не требуется какое-либо внешнее вмешательство. Скажем, в модели "песочной кучи" для достижения состояния критичности требуется некто, кто сыпет сверху по песчинке песок - иначе куча сама по себе не придет в критическое состояние. В МСП-системах критическое состояние формируется спонтанно за счет внутренних динамических свойств таких систем. Поскольку эти свойства являются отражением глубоких эволюционных закономерностей (адаптация, накопление полезного опыта, влияние энтропии, стабилизация временно-равновесного состояния), то свойство МСП-систем - их способность самоорганизоваться в критическое состояние - означает, что такую способность должны показывать действительно существующие сложные эволюционирующие системы. И это действительно так. Подробнее - статья:
http://katastrofa.h12.ru/krit.htm
Поэтому моделирование структур, составленных из элементов, работающих по МСП-алгоритму, мне кажется, могло бы дать много новой интересной информации о динамике и структуре Сложных Эволюционирующих Систем (СЭС).
5) В качестве примеров сошлюсь опять на работу Wesley Mitchell [3].
Он приводит ряд эмпирических закономерностей для Экономической СЭС. Помимо выявленной им закономерности - наличие напоминающего логнормальное распределения "длительность цикла" - "частота встречаемости", которая находит теоретическое объяснение в рамках МСП-модели бизнес-цикла (см.
предыдущее сообщение), можно отметить также еще одну закономерность, на которую указывает W.Mitchell [3]. Именно, он отмечает, что "глубина кризиса", измеряемая как процентное сокращение занятости, рассчитанная для организаций, предприятий и индустрий разной величины, показывает наличие определенной закономерности:
чем крупнее индустрия, тем больше глубина кризиса. Во время рецессии не все индустрии страдают от кризиса в равной мере. W.Mitchell указывает, что такие крупные отрасли как добывающая, обрабатывающая и строительная индустрии показывают значительно большее сокращение занятости (29%) во время кризиса, чем менее крупные индустрии - оптовая торговля, не ж/д транспорт, финансовый сектор - (5-7%), что, наконец, фермерские хозяйства и розничная торговля сокращают занятость лишь на 1-3% (стр.87). Более того и внутри каждой из индустрий имеет место та же закономерность:
чем крупнее предприятие (организация), тем сильнее она страдает во время кризиса. Эта закономерность - зависимость "глубины кризиса" от масштаба индустрии (от величины предприятия, измеряемой по числу работающих) находит простое объяснение в рамках МСП-модели бизнес цикла.
Поскольку с ростом размера организации растет ее способность противостоять внешним возмущениям (аналогично тому, как с увеличением размера броуновской частицы снижается величина флюктуаций за счет нескомпенсированных ударов молекул) - то это значит, что для крупных индустрий эффективное среднее значение возмущений будет меньше, чем для мелких организаций. Как следствие, крупные индустрии более устойчивы к возмущениям и значит в среднем они будут подниматься по верхней эволюционной ветви выше, чем мелкие индустрии. Соответственно и глубина кризиса в среднем будет выше в крупных индустриях (они более высоко поднимаются, но зато и более глубоко падают). Поэтому существует зависимость между средней глубиной кризиса индустрий данной величины и величиной (размером, масштабом) этих индустрий. Глубина кризиса в более крупных индустриях будет больше, чем в менее крупных индустриях.
Григорий.
Литература:
[1] Per Bak, Chao Tang и Kurt Weisenfeld, 1987. "Self-Organized
Criticality: An Explanation of 1/f Noise", Phys.Rev.Let.;v. 59; N.4
(381 - 384).
[2] S.T.Bramwell, K.Christensen, J.-Y.Fortin, P.C.W.Holdsworth,
H.J.Jensen, S.Lise, J.M.Lopez, M.Nicodemi, J.-F. Pinton, and
M.Sellitto, 2000. "Universal Fluctuations in Correlated Systems",
Phys.Rev.Let., v.84, N.17 (3744 - 3747).
[3] Mitchell, W. C., 1927, "Business Cycles. The Problems and Its
Setting", The National Bureau of Economic Research: New York.
[4] Per Bak and Kim Sneppen, 1993. "Punctuated Equilibrium and Criticality in a Simpl Model of Evolution", Phys.Rev.Let.;v. 71; N.24
(4083 - 4086)
Вход
Регистрация
Правила форума
FAQ
Поиск
